MODELLING OF THE MOVEMENT OF MANY BODIES ON THE EXAMPLE OF ASTRONOMICAL OBJECTS


Cite item

Abstract

The modern organization of educational process assumes use of computer technologies when training in various disciplines of a natural-science cycle that allows expanding possibilities of a traditional technique of training. In work some ways of use of methods of computer modeling in a school course of astronomy are considered. Application of computer technologies considerably simplifies mathematical apparatus and makes available the solution of problems which analytically are solved not in all higher education institutions.

Full Text

Рассмотрим две задачи: движение одной и двух материальных точек в гравитационном поле силового центра. Движение одного тела в гравитационном поле силового центра Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух гравитационно взаимодействующих материальных точек массами и . Предположим, что начало системы координат находится в точке (рис.1), т.е. в движении участвует только одна точка . По второму закону Ньютона тело массой приобретет ускорение под действием силы гравитации где есть гравитационная постоянная, а знак минус обозначает, что эта сила направлена из точки в точку в сторону обратную радиус-вектору . Проекции этой силы и, следовательно, проекции ускорения и точки можно найти из простых геометрических соображений (рис. 1): F X Y F x F y x a y b x b y a Рисунок 1 (1) где - расстояние между точками и , , . В формулах (1) параметр определяет только масштаб происходящих процессов, но не характер получающихся траекторий. Известно, что гравитационная постоянная имеет порядок ,и если рассматриваемая нами масса будет порядка , то . Используя представление о том, что ускорение есть первая производная скорости, скорость есть первая производная координаты, составим из формул (1) систему дифференциальных уравнений, позволяющую построить траектории данного движения: (2) Для численного решения системы (2) воспользуемся алгоритмом Эйлера, который основывается на известных учащимся из школьного курса физики формулах. Метод Эйлера строится из определения производной и представления ее через рекуррентные соотношения, обозначения в которых, адаптированные к синтаксису математического пакета MathCAD, выглядят следующим образом: (3) где называют шагом итерационной схемы (3). Зная начальные значения проекций ускорения, скорости и координат, получим: Рисунок 2 На рис. 2 представлен алгоритм решения, реализованный в математическом пакете MathCAD. Рисунок 3. Графическое решение представлено на рис. 3, который показывает траекторию движения точки в гравитационном поле силового центра . Движение двух тел в гравитационном поле силового центра F 2 F 3 F 23 F 32 X Y Рисунок 4 m 3 Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из трех гравитационно взаимодействующих материальных точек массами , , . Предположим, что начало системы координат находится, как и в предыдущей задаче, в точке (рис. 4), т.е. в движении уже участвуют две точки и . В рассматриваемой системе действуют следующие силы: и - силы гравитационного воздействия точки на точки и ; - гравитационная сила взаимодействия точек и ,при этом по третьему закону Ньютона . На основании закона всемирного тяготения (4) где , , - расстояния между соответствующими материальными точками , и . Выражая проекции этих сил из соответствующих прямоугольных треугольников (рис. 4), на основании второго закона Ньютона получим соотношения для проекций ускорений , , , : (5) Подставляя (4) в (5), получим: (6) Как и в предыдущей задаче, полученные выражения (6) могут быть положены в основу итерационной схемы численного расчета системы дифференциальных уравнений методом Эйлера. По сравнению с предыдущей задачей, данная итерационная схема решает совместно уже восемь дифференциальных уравнений. Рекуррентные формулы данного метода имеют следующий вид: (7) На рис. 5 показаны траектории движения двух материальных точек и в гравитационном силовом центре . Рис. 5а демонстрирует модель движения Земли и Луны относительно Солнца. Начальные условия: , , , , , , , , , , , , . Рисунок 5а Рисунок5б Рисунок 5. Рис. 5б демонстрирует движение в гравитационном поле Солнца двух небесных тел ( , , , , , , , , , , , , ). Заключение Знание учителем компьютерного моделирования и численных методов, создает предпосылки для демонстрации на уроках астрономии движений небесных тел, не прибегая к интегрированию сложных дифференциальных уравнений, о существовании которых учащиеся могут даже не подозревать.

×

About the authors

Igor Viktorovich Ryzhov

Russian State Pedagogical University A.I. Gertsen

Author for correspondence.
Email: thphys@herzen.spb.ru

Candidate of Physico-mathematical Sciences, Professor at the Department «Theoretical Physics and Astronomy» of the Faculty of Physics

191186, naberezhnaya r. Moyki, 48, St. Petersburg, Russia

Irina Svyatoslavna Kosova

Herzen State Pedagogical University of Russia

Email: thphys@herzen.spb.ru

Candidate of Pedagogical Sciences, Assistant Professor at the Department of «Algebra» of the Faculty of Mathematics

191186, naberezhnaya r. Moyki, 48, St. Petersburg, Russia

Nikolay Aleksandrovich Vasiliev

Russian State Pedagogical University A.I. Gertsen

Email: thphys@herzen.spb.ru

Candidate of Physico-mathematical Sciences, Professor at the Department of «Theoretical physics and astronomy» of the Faculty of Physics

191186, naberezhnaya r. Moyki, 48, St. Petersburg, Russia

Lev Viktorovich Zhukov

Russian State Pedagogical University A.I. Gertsen

Email: thphys@herzen.spb.ru

Doctor of Pedagogical Sciences, Professor at the Department «Theoretical physics and astronomy» of the Faculty of Physics

191186, naberezhnaya r. Moyki, 48, St. Petersburg, Russia

Vladimir Nikolayevich Aniskin

Samara State Academy of Social Sciences and Humanities

Email: vnasiskin@gmail.com

Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor, Professor at the Department «Informatics, Applied Mathematics and Technique of Their Teaching»

str. M. Gorkogo, 65/67, Samara, 443099, Russia

Alexey Alekseevich Vasilyev

St. Petersburg academy of post-degree pedagogical education

Email: uit@spbappo.ru

educational master at the technical management department of information technologies

str. Lomonosova, 11-13, St. Petersburg 191002, Russia

References

  1. Глазков В.В. Компьютерное моделирование: Учебное пособие. Саранск: Мордов. гос. пед. ин-т., 2004. 224 с.

Copyright (c) 2015 Ryzhov I.V., Kosova I.S., Vasiliev N.A., Zhukov L.V., Aniskin V.N., Vasilyev A.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies