Features of the course «Non-classical problems of mathematical physics» in the conditions of realization of competence approach to the training of masters of pedagogical education

Full Text

В настоящее время система российского образования переживает преобразования, связанные с внедрением Болонского процесса. Одним из ключевых моментов включения России в европейское пространство высшего образования является реализация компетентностного подхода. К одной из основных проблем современного процесса образования относится подготовка будущего выпускника вуза, который в короткие сроки может приспособиться к потребностям работодателей. В этих условиях становится актуальной образовательная парадигма, когда, с одной стороны, должны учитываться интересы личности, адекватные тенденциям интенсивного развития общества, а с другой стороны, модернизация общего образования, требующая учителя, который мог бы решать новый класс возникающих на практике профессиональных задач на достаточно высоком уровне [1–4].

Для решения указанных задач знаний и умений, сформированных в условиях классического университетского образования, явно недостаточно. Современное общество требует, чтобы выпускник высшей школы был уже компетентным специалистом, а не носителем некой системы знаний в определенной области. Иными словами, он должен обладать профессиональной компетентностью. Компетентностный подход меняет взгляд на результат высшего образования с понятий «обученность», «образованность» на «компетенция», «компетентность», «компетентностный подход». В работах В.И. Байденко [5], Э.Ф. Зеера [6], И.А. Зимней [7], Н.В. Кузьминой [8], А.К. Марковой [9] и др. [10; 11] раскрываются и сравниваются понятия «компетенция», «компетентность», «компетентностный подход».

Нам ближе точка зрения американского психолога Дж. Равена, который определял компетентность как специфическую способность эффективного выполнения конкретных действий в предметной (физико-математической) области. Эта способность включает в себя узко предметные знания, особого рода предметные навыки, способы мышления, понимание ответственности за свои действия [12; 13].

В Концепции модернизации российского образования заявлено о необходимости введения компетентностного подхода в образовании. При подготовке будущего учителя математики, физики и информатики очень важно понимание студентами практического и прикладного аспектов содержания учебной дисциплины по выбору «Неклассические задачи математической физики». При изучении данной дисциплины явно проявляется единство теории и практики. Особое место дисциплины «Неклассические задачи математической физики» в учебном плане магистерской программы «Математическое образование» определяется фундаментальным характером ее содержания. Для успешной реализации компетентностного подхода при подготовке магистров математического образования на базе Забайкальского государственного университета успешно функционирует лаборатория прикладной математики, одним из направлений деятельности которой является решение проблем экранирования загрязненных зон, теплоизоляции зданий, применения композитных материалов, развития нанотехнологий и т.д. в математических моделях. Решение указанных проблем приводит к постановке и решению краевых задач математической физики в областях с пленочными включениями. Целью нашей работы являлось раскрытие особенностей изучения курса «Неклассические задачи математической физики» в условиях реализации компетентностного подхода к подготовке магистров педагогического образования.

В университетских курсах математической физики рассматриваются классические краевые задачи в однородных областях (без пленочных включений). Как показано в работах [14; 15], если область содержит пленочное включение, то на этом включении для искомых функций (потенциалов) должны выполняться обобщенные условия сопряжения, что приводит к неклассическим краевым задачам математической физики. Сильно проницаемая пленка моделируется бесконечно тонким слоем с бесконечно большой проницаемостью. При этом сильно проницаемые пленки характеризуются соответственно параметром:

$A=\underset{l\to \mathrm{0,} k\to \infty }{\lim }lk \left(1\right)$

где l – толщина пленки, а k – ее проницаемость.

Задачи с пленочными включениями рассматриваются на курсах по выбору в рамках магистерских программ «Математическое образование» и «Физико-математическое образование». Курс «Неклассические задачи математической физики» направлен на достижение такой цели, как формирование готовности анализировать результаты научных исследований в области математической физики и применять их к решению неклассических задач, имеющих прикладной характер.

Для этого должны быть решены следующие задачи:

– сформировать представления магистрантов о методах решения краевых задач математической физики и особенностях применения их к решению неклассических задач;

– создать условия для формирования умения решать краевые задачи в областях, содержащих пленочные включения различных форм;

– способствовать пониманию магистрантами прикладного характера неклассических задач математической физики.

При реализации компетентностного подхода на первый план выходит практическая составляющая профессионального образования. Освоение данной учебной дисциплины направлено на формирование профессиональных компетенций. Магистрант в результате освоения данной дисциплины:

1) способен анализировать результаты научных исследований, применять их при решении конкретных научно-исследовательских задач в сфере науки и образования, самостоятельно осуществлять научное исследование;

2) готов использовать индивидуальные креативные способности для самостоятельного решения исследовательских задач;

3) знает концептуальные и теоретические положения науки математика, владеет научными основами современной математики, необходимыми для ее трансляции обучающимся в соответствии с образовательной программой.

Процесс формирования компетенций проходит через несколько уровней (табл. 1).

 

Таблица 1 – Уровни сформированности компетенций

Результат обучения	Уровень сформированности компетенций
Знать	Пороговый: 1) базовые термины в проблемно-предметном поле дисциплины; 2) основные методы математической физики.
	Стандартный: 1) терминологическую систему математической физики; 2) области приложения аппарата математической физики.
	Эталонный: 1) содержательные элементы математической и их определения; 2) методы решения задач математической физики.
Уметь	Пороговый: 1) классифицировать задачи математической физики; 2) применять алгоритмы решения неклассических задач в простейших случаях.
	Стандартный: 1) применять основные методы решения краевых задач математической физики; 2) проявлять (осуществлять) элементы исследовательской деятельности при решении ранее не изученных (принципиально новых) задач.
	Эталонный: 1) выбирать метод решения задач математической физики и решать краевые задачи в областях, содержащих пленочные включения различных форм; 2) самостоятельно осуществлять научное исследование в области неклассических задач математической физики.
Владеть	Пороговый: 1) основными понятиями математической физики для решения краевых задач в областях, содержащих пленочные включения различных форм; 2) основными методами и алгоритмами решения краевых задач в областях, содержащих пленочные включения различных форм.
	Стандартный: 1) методами решения большого перечня задач, подбора и комбинирования методов (алгоритмов) решения неклассических задач математической физики; 2) материалом дисциплины на уровне понимания.
	Эталонный: 1) умением осуществлять поиск новых методов и алгоритмов решения неклассических задач математической физики; 2) материалом дисциплины на уровне осмысления и практического применения.

 

Рассмотрим практический аспект реализации компетентностного подхода в подготовке магистра педагогического образования на материале данного учебного курса. Основываясь на требованиях ФГОС ВО, учитывая набор ключевых компетенций будущего педагога, на наш взгляд, содержание курса «Неклассические задачи математической физики» должно иметь следующий вид:

1) Особые точки аналитических функций, их динамический смысл;

2) Постановка краевых задач в кусочно-неоднородных областях;

3) Решение задач сопряжения на кусочно-однородной плоскости;

4) Решение задач с обобщенными условиями сопряжения на пленочных включениях.

Магистранты овладевают методами решения неклассических задач математической физики в процессе решения конкретных задач как теоретического, так и прикладного характера. Наиболее ярким примером, относящимся к первому виду, можно отнести задачу для сильно проницаемой пленки.

Задача для сильно проницаемой пленки. Рассмотрим верхнюю полуплоскость $D=\left(x\in R\right)\times (y>0)$, разделенную прямой x=0 на два квадранта D₁(x$<0$) и D₂(x$>0$) с различной проницаемостью ${\kappa }_i$ в $D_i$, когда прямая x=0 является сильно проницаемой пленкой. В данной неоднородной полуплоскости D(y$>0$) относительно искомых функций $u_i\left(x,y\right)$ в $D_i\left(i=\mathrm{1,2}\right)$ рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Лапласа (задачу Дирихле):

$∆u_i\left(x,y\right)=0$, $y>0$, $u_{1|y=\mathrm{0,}x<0}=0$, $u_{2\left|y=\mathrm{0,}x\right.>0}=\phi \left(x\right), \left(2\right),$

$x=0:$$u_2=u_1$,$k_2{\partial }_x{u}_2-k_1{\partial }_x{u}_1=A{\partial }_x^2{u}_1, \left(3\right),$

где $∆=\raisebox{1ex}{${\partial }^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\partial x^2$}\right.+\raisebox{1ex}{${\partial }^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\partial y^2$}\right.$, $\phi \left(x\right)$ – заданная кусочно-гладкая функция, интегрируемая при $0<x<\infty$, $\phi \left(x\right)=0$ в некоторой окрестности $x=0$; А – параметр из (1); условия сопряжения (3) на сильно проницаемой пленке, полученные в работе [14]. Найти функции $u_i\left(x,y\right)$, удовлетворяющие условиям (2) и (3).

Опираясь на требование формирования третьей компетенции, для решения этой задачи магистрант должен знать: задачу Дирихле (первую краевую задачу для уравнения Лапласа); интеграл Фурье; формулу Пуассона.

Также решатель должен владеть:

– методами решения алгебраических систем;

– методами интегрирования;

– методами вычисления несобственных интегралов;

– методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

– методами разложения функции в интеграл Фурье.

Рассмотрение таких дополнительных вопросов, как решение краевых задач в кусочно-однородной и кусочно-неоднородной полуплоскостях и полосе, способствует повышению общего уровня математической культуры будущего учителя, его общетехнических и профессиональных компетенций.

Для проверки и оценки сформированности каждой из заявленных компетенций у каждого магистранта требуется разработать блок заданий, касающихся разных аспектов профессиональной деятельности [16; 17]. Основную часть этого блока составляют задачи экранирования разными видами пленки. Также для самостоятельной постановки и решения исследовательских задач в области неклассической физики предлагается варьирование модели за счет модификации разных видов пленки. И, самое важное, полученный результат должен быть интерпретирован соответствующим образом, что говорит о владении магистрантами аппаратом математического моделирования.

Отметим, что при проведении практических занятий по данной дисциплине применяются различные виды взаимодействия и интерактивные методы: проблемные дискуссии, проектные методы, индивидуальные и групповые задания, анализ ситуаций и т.д. Они способствуют развитию исследовательских умений магистрантов, дают им возможность использовать теоретические знания в практической деятельности [18–20].

Итак, одним из эффективных способов повышения качества подготовки будущих магистров педагогического образования при освоении курса «Неклассические задачи математической физики» являются подходы и методы, реализуемые в рамках компетентностного подхода. Практика показывает, что подобные подходы позволяют активизировать учебную и познавательную деятельность магистрантов, способствует развитию индивидуальных креативных способностей, а значит, повышает их конкурентоспособность и востребованность на рынке труда.

About the authors

Svyatoslav Yevgenyevich Kholodovskii

Transbaikal State University

Email: hol47@yandex.ru

doctor of physical and mathematical sciences, professor of Fundamental and Applied Mathematics, Theory and Methods of Teaching Mathematics Department

Russian Federation, Chita

Natalya Vasilievna Kononenko

Transbaikal State University

Email: kononenko.52@list.ru

candidate of pedagogical sciences, associate professor of Fundamental and Applied Mathematics, Theory and Methods of Teaching Mathematics Department

Russian Federation, Chita

Julia Sergeevna Tokareva

Transbaikal State University

Author for correspondence.
Email: jtokareva2@mail.ru

candidate of physical and mathematical sciences, dean of Natural Sciences, Mathematics and Technology Faculty

Russian Federation, Chita

References

Supplementary files