Modeling of fungal mycelium growth by fourth-class continuous stochastic cellular automaton with continuously defined growth conditions

Full Text

Введение

Мицелиальные грибы – важный компонент почвенной микробиоты. На 1 грамм почвы может приходиться до 16 километров грибного мицелия [1]. Сапротрофные грибы участвуют в процессах ферментативного разложения органического вещества почвы ускоряя процессы минерализации азота и фосфора в почве. Кроме этого мицелиальные грибы могут перемещать питательные элементы (азот, углерод, фосфор) по гифам в удаленные участки мицелия, тем самым выравнивая неоднородность среды по ресурсам.

Цель математического моделирования – не только создать систему математических уравнений, которая объясняет и предсказывает поведение реальных систем, но и сделать это как можно более простым способом, так, чтобы можно было легко проверить функциональность структуры модели и верифицировать параметры модели относительно экспериментальных данных используя статистические методы [2].

Существующие простые модели роста грибного мицелия различаются в зависимости от уровня детализации описания происходящих процессов и пространственной структуры гиф [3]. Такие модели можно разделить на колоний-ориентированные модели (КОМ) – описывающие процессы роста с помощью системы математических уравнений, но не позволяющие количественно описать (а значит и визуализировать) рост каждой отдельной гифы; гиф-ориентированные модели (ГОМ), позволяющие визуализировать рост каждой гифы; а также биохимически-ориентированные (БОМ) модели [4]. Последние включают описание биохимических и ростовых процессов на уровне одной гифы используются для описания поведения целого мицелия. Наиболее детальные модели, которые мы относим к биохимически-ориентированным, редки и не верифицированы.

Описание пространственного роста мицелия с помощью КОМ требует использования дискретной математики (уравнений в частных производных), что сильно усложняет задачу. Эту проблему решают, вводя уравнения КОМ в состав ГОМ, функционирующих на основе так называемых клеточных автоматов (КА). Клеточный автомат в общем виде представляет собой упорядоченное множество конечных автоматов, обменивающихся информацией с соседними автоматами. Дискретная модель на основе КА включает регулярную решётку ячеек, каждая из которых может находиться в одном из конечного множества состояний, определяемых правилами, такими как выбор: 1 и 0, правда и ложь; любой вид числа, функция принимающее конкретное значение для данного временного шага (в этом случае устанавливается связь с функциональной моделью). Решетка КА может быть любой размерности. Состояние одной клетки определяется множеством соседних клеток от состояния которых зависит состояние данной клетки в следующем временном шаге. Применение модели типа клеточного автомата упрощает описание распространения мицелия в пространстве, которое легко может быть визуализировано, например, в виде двухмерной сетки. Индивидуально-ориентированные дискретные вероятностные ГОМ рассматриваются как совокупность многих десятков моделей мицелий-ориентированного подхода (синоним КОМ). К каждой отдельной подмодели могут быть применены уравнения мицеллярной КОМ, только не в масштабе всей колонии, а для одной клетки мицелия или группы клеток с одинаковыми свойствами (гифы). Так как в этом случае не нужно моделировать распространение клеток, эти уравнения можно упростить. Благодаря этому КА стали широко использоваться, являясь примером совместного использования КОМ и ГОМ: внутри клеток автомата используются уравнения КОМ. Однако такой подход хоть и позволяет использовать относительно простую математику, но добавляет новую проблему. Индивидуально-ориентированные вероятностные модели могут быть получены только на основе экспериментов с недостатком ресурсов в среде [2].

С помощью КА удалось достаточно просто смоделировать рост грибного мицелия в средах, различающихся не только по количеству ресурсов для роста в пространстве, но и по другим характеристикам: пористости [5] или кислотности [6]. Были разработаны также простые трехмерные модели без сложных формул, характерных для отдельно используемых ГОМ и БОМ [7].

Нам не встретилось моделей, которые бы совмещали в себе достоинства КОМ, ГОМ и БОМ подходов. Также не существует моделей транспорта сразу нескольких элементов по мицелию гриба использующих КА.

Потому целью данной работы являлось моделирование роста и пространственной структуры мицелия грибов, и вертикальной и горизонтальной миграции элементов питания в среде на основе синтеза трех модельных подходов (КОМ, ГОМ и БОМ) в модели КА.

Описание модели

Основываясь на литературных данных, мы сформулировали алгоритмы модели, которые позволяют воспроизвести характер роста грибной колонии, имитируя скорость роста и правила ветвления мицелия, а также прекращение роста или вымирание сердцевины колонии после ее распространения. Затем мы дополнили КА, описывающий механизм распространения гиф (и легко визуализируемый), механизмом передачи ресурсов по колонии.

В результате начального этапа работы (создание модели КА) были сформулированы алгоритмы негативного автотропизма, апикального роста и ветвления для мицелия. Дополненная модель состоит из двух блоков – структурного и метаболического. Структурный блок содержит правила распространения мицелия в пространстве: геометрию роста гриба, параметры ветвления, его скорость роста. Метаболический блок отвечает за моделирование всасывания, усвоения и переноса ресурсов; он описывает, среди прочего, и возможную экскрецию ресурсов во внешнюю среду. Во внешнюю среду элементы могут переноситься при дыхании и экскреции экзоферментов.

Структурный блок легко верифицируем, так как скорость роста, рисунок роста, ветвление можно легко наблюдать и сравнить в численном и реальном экспериментах. Метаболический блок можно верифицировать только с помощью постановки специальных экспериментов или относительно опубликованных данных, которые обычно неточно соответствуют заданным условиям и алгоритмам модели.

Нами были выбраны следующие параметры для инициализации структурного блока: минимальное количество ресурса, при котором мицелий растет на 10 мм в день равнялось 0,008 в процентах от веса всего субстрата – % максимального субстрата (мс). Субстрат может быть почвой, подстилкой, жидкостью, агаром. Значение внешних ресурсов в клетке, ниже которого наступает голодная смерть, ‒ 0,0001 % мс [2, с. 240]. Константа Михаэлиса для процесса поглощения ресурса грибом была выбрана равной 6×10⁻⁵ весовых процентов ресурса на одну клетку автомата [8; 9].

Для размножения, деления грибной клетки выбирается соседняя незанятая ячейка клеточного автомата с самым большим ресурсом. Если среда гомогенна, то ячеек с большим ресурсом может быть много. Из этого множества гриб выбирает один случайным образом. Когда гриб оказывается в бедной среде, он пытается найти среду, богатую ресурсами. Эта задача может быть выполнена с помощью быстрого прямолинейного роста без ветвления. Механизм однонаправленного роста мицелия называется апикальным. Ветвление же выбирается при большем количестве ресурсов. Логика роста отражена на рис. 1.

 

 

Рисунок 1 – Логика апикального роста и ветвления

 

Выбор между алгоритмами линейного роста и ветвления в структурном блоке происходит в зависимости от доступности ресурсов [10, 11]. Так, пороговая концентрация азота, одного из субстратов, выбранных для параметризации модели, выше которой происходит ветвление мицелия, была выбрана равной 1 % мс [3]. Кроме этого, в модель включили алгоритм негативного автотропизма, который задает направление роста гиф таким образом, чтобы гифы не могли «слипаться», сталкиваться друг с другом. Внешние гифы в колонии потребляют ресурсы на пять порядков быстрее внутренних. Это происходит из-за инкапсуляции зрелых гиф. Гифы грибов могут потреблять больше ресурсов, чем нужно на данный момент, а также могут расти в условиях нехватки ресурсов. Это достигается с помощью введения так называемого материнско-дочернего механизма. Некоторые зрелые гифы могут стать материнскими клетками, куда соседние клетки мицелия транспортируют элементы питания в случае избытка или откуда они берут ресурсы в случае их недостатка в среде.

Результаты и обсуждение

Для грибов, растущих на материнской твердой породе, которая еще не является почвой, максимальная скорость роста одной гифы в длину различается на порядки. Однако для грибов в почве скорости роста отличаются лишь в разы [12]. В целом можно найти медиану для скорости роста большинства почвенных грибов, а также ее максимальное значение. Для почвы максимальное значение не превышает 5 мм в час. С одной стороны, чем больше ресурсов, тем выше площадной рост мицелия. С другой стороны, чем меньше ресурсов, тем быстрее апикальный рост [13]. При увеличении количества ресурсов в среде увеличивается ветвистость, то есть замедляется линейное продвижение мицелия. В итоге, при увеличении количества ресурсов в среде скорость распространения мицелия может повышаться, и понижаться одновременно. Это противоречие может быть снято пересчетом линейно скорости роста на скорость увеличения биомассы. Ведь линейный рост мицелия может происходить за счет гиф различного диаметра. То есть при увеличении мицелия на единицу длины может прирасти разное количество биомассы. В связи с этим, даже если увеличение концентрации ресурсов в среде и приводит к понижению линейной скорости роста, то биомасса отреагирует может увеличиваться из-за увеличения ветвления или диаметра гиф.

Если же не рассчитывать биомассу, как в большинстве моделей КА, то следует придерживаться эмпирического правила, согласно которому при увеличении количества ресурсов в среде гифы покрывают большую площадь и количество выросших гиф становится больше. При меньшей же концентрации элементов питания количество нарастающих гиф меньше, но они покрывают большее расстояние по прямой (то есть апикальная скорость выше). Однако при этом средняя скорость роста каждой гифы остается постоянной. Но при ветвлении, вызванным высоким количеством ресурсов, гифы чаще поворачивают, потому проходят меньшее расстояние по прямой.

Исходя из всего этого, на первом этапе моделирования скорость роста гриба была выбрана постоянной. Мы приняли, что средняя скорость роста гриба при оптимальных условиях на различных субстратах – приблизительно равна 0,5–3 мм в час, или 1 см в день [14–21].

Параметризация структурного блока показала, что полученная модель отражает закономерности рисунка роста и ветвления мицелия, потребления и траты биогенных элементов в случае роста мицелия гриба в лабораторных условиях в агаре [5] и также роста в почве [2]. В случае роста в агаре, модель может повторить рисунок роста триходермы, а в случае роста в почве модель может воспроизводить так называемые «ведьмины кольца». Кроме того, она хорошо воспроизводит время жизни мицелия и скорость покрытия поверхности субстрата мицелием для нескольких типов экспериментальных данных.

Интересно отметить противоречие в определении того, что находится внутри «ведьминых колец». По одним данным, это лишенная растительности площадь [22], по другим [23] – на ней, наоборот, растет густая трава. В первом случае центр колонии живет и высасывает из почвы ресурсы, а во втором случае он отмирает и удобряет землю. И тот и другой случай формирования «ведьминых колец» можно повторить, используя предложенную модель.

На втором этапе параметризации модели мы добивались повторения более сложного рисунка роста мицелия. Так, в случае роста в агаре [24], модель успешно повторила рисунок роста триходермы, полученный в сложно устроенном эксперименте. В этом случае триходерма росла из средней ячейки пластины агара, порезанного на 9 частей. Через неделю мицелий пророс в виде креста в соседние ячейки в большинстве экспериментов, хотя в некоторых наблюдался рост сразу во все ячейки (рис. 2). На рисунке 3 показаны результаты моделирования, отражающие успешность использованного подхода.

 

 

Рисунок 2 – Рост триходермы крестом в системе агар – воздушные ловушки. Темные клетки – агар, более светлые (серые) – мицелий; белое пространство между темным блоками – воздушные ловушки

 

 

Рисунок 3 – Рост мицелия крестом в модели

 

Добавление метаболической подмодели в КА сделало возможным описание транспорта ресурсов по мицелию. Количество переносимых ресурсов (азота или фосфора) зависит от параметров, включенных в формулу и в настоящий момент верифицируется в отдельных экспериментах (или же согласно литературным данным). Параметризация метаболической подмодели проводится на основании данных по транспорту фосфора и азота по мицелию гриба в микоризе опубликованных в статье [25].

При пересчете опубликованных данных в единицы размерности, используемой в нашей модели, получаем, что за 3 дня фосфор, перемещенный по мицелию, составил 0,003489 от массы почвы (0,1 % мп) на одну десятую мм гифы гриба в процентах. Предполагается, что 10% гиф инсулированы и что, согласно статье C.Kaiser [26], поток фосфора через растение настолько быстр, что он не может быть лимитирующим фактором в модели взаимодействия корень – мицелий в микоризе. Исходя из этих данных, мы планируем верифицировать формулу переноса фосфора мицелием.

Выводы

Полученная в результате модель повторяет рисунок мицелия, потребления и траты ресурсов, как в случае роста гриба в агаре [5], так и его роста в почве [2]. Кроме того, программа реалистично отражает время жизни и скорость распространения по поверхности гриба для нескольких типов экспериментальных данных. Для достижения поставленной цели в части точного описания транспорта элементов минерального питания мицелием в почве планируется доработать метаболическую часть модели согласно последним литературным данным.

About the authors

Anatoliy Sergeevich Shumilov

Institute of Physicochemical and Biological Problems of Soil Science of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: anatoliy.sergreevich.shumilov@gmail.com

postgraduate student, junior researcher of Mathematical Modeling of Ecosystems Laboratory

Russian Federation, Pushchino

Sergey Alexandrovich Blagodatsky

Institute of Physicochemical and Biological Problems of Soil Science of Russian Academy of Sciences

Email: sblag@mail.ru

doctor of biological sciences, leading researcher of Soil Nitrogen and Carbon Cycles Laboratory

Russian Federation, Pushchino

References

Supplementary files