Vector interpretation of students’ residual knowledge assessment

Full Text

Одной из нерешенных проблем в образовании является оценка остаточных знаний обучающихся. Она необходима для педагогической диагностики, коррекции образовательного процесса, выбора форм и методов преподавания дисциплин, оценки качества образования, эффективного управления образованием. В большей мере процедура проверки остаточных знаний используется в сфере высшего образования, поскольку эта система имеет больше возможностей для внесения изменений в учебный процесс как на индивидуальном уровне, так и на уровне учебного заведения и системы образования в целом. Результаты контроля остаточных знаний студентов являются одним из факторов, имеющих значение при лицензировании учебного заведения и аккредитации учебных программ.

Контроль остаточных знаний должен обладать признаками целенаправленности, объективности, полноты, адекватности, а также информативности и наглядности представления результатов. Последнее необходимо для того, чтобы по результатам проведенной проверки можно было сделать правильные выводы и при необходимости организовать коррекционный процесс. Количественная оценка, выраженная графическим способом, имеет преимущества в восприятии и анализе перед цифровой формой представления результатов. Визуализация статистических данных в виде диаграмм и графиков является стандартной практикой представления информации в бизнесе, менеджменте, экономике.

В работах педагогов-исследователей отражен современный опыт проведения, анализа и интерпретации оценки знаний обучающихся. Специфика диагностической работы в вузе обсуждается в научных работах Е.К. Артищевой [1]. Глубоко раскрыта тема функционального предназначения и организации тестового контроля знаний [2, с. 121]. В научных трудах [3–7] предлагаются различные способы обработки результатов квалиметрических процедур с целью диагностики и коррекции знаний. Ряд исследований посвящен вопросам представления полученных данных в различных формах [8–13]. Проблемам контроля остаточных знаний посвящены труды О.И. Федяева [14], Е.К. Артищевой [15].

Вместе с тем, при наличии значительного числа публикаций по данной тематике, актуальными остаются проблемы обработки, анализа и интерпретации полученных данных. На основании анализа литературных источников по данной проблеме можно сделать вывод о том, что в большинстве случаев анализ результатов производится по общим статистическим методам: рассчитываются выборочные характеристики, строятся гистограммы, проверяются различные гипотезы, строятся модели и прогнозы и т.д. Эти научные подходы хорошо выполняют свою квалиметрическую функцию, но имеют существенный недостаток: сложность восприятия для неподготовленного пользователя. В данной работе предложен иной подход к представлению результатов.

Методология исследования включает общенаучные и математические методы: теоретический анализ проблемы на основе анализа научной литературы, обобщение опыта для определения путей решения проблемы, сравнение, математическое моделирование, использование фундаментальных основ векторной алгебры для решения прикладных задач.

Поиск новых путей визуального представления результатов контроля, их обработки и анализа приводит к идее использования математических методов в образовательной деятельности. В сложившейся практике процедура проверки остаточных знаний является частью внутреннего или внешнего мониторинга и, как правило, основана на предметном тестировании с определенным лагом по времени. Количественная оценка результатов тестирования имеет форму упорядоченной совокупности данных, а следовательно, может быть представлена в векторной форме и проанализирована на основе векторного критерия. Компоненты вектора могут быть сгенерированы на основе текущей успеваемости обучающихся или по результатам более позднего тестирования.

В таком случае проблема оценки остаточных знаний может быть сведена к задаче построения отношения, преобразующего каждый результат тестирования по одной дисциплине в некоторое вполне упорядоченное множество [16], как, например, множество [0, 100]. Причем отношение должно быть построено таким образом, чтобы качественные характеристики возрастали с увеличением значения каждого критерия. Это позволит геометрически соотнести результаты.

Будем считать, что обучение в образовательном учреждении длится k лет и каждый год проверка остаточных знаний проводится по $n_r$ предметам, 1 ≤ r ≤k и $\sum _{r=1}^k{n}_r=n$. Считаем, что контроль осуществляется в форме тестирования по 100-балльной шкале. Количество баллов, набранных обучаемым при контроле текущей успеваемости прошедшего периода и при проверке остаточных знаний по i-той дисциплине на j-том году обучения, обозначим $x_{ij}^0$ и $x_{ij}$ соответственно.

Таким образом, всей совокупности результатов проверки текущей успеваемости и остаточных знаний по всем дисциплинам ставятся в соответствие упорядоченные кортежи из n чисел – векторы мониторинга текущей успеваемости и остаточных знаний.

$\stackrel{-0}{X}(x_{11}^0,x_{12}^0...,x_{1n_1}^0;...;x_{k_1}^0,x_{k_2}^0,...,x_{k{n}_k}^0)$ и $\overline{X}(x_{11},x_{12},...,x_{1n_1};...;x_{k1},x_{k2},...,x_{k{n}_k})$.

Эти объекты с математической точки зрения представляют собой векторы в n-мерном пространстве, с семантической точки зрения они являются оценкой текущей успеваемости и остаточных знаний. Эти вектора расположены в n-мерном кубе:

С = [0, 100] × [0, 100] × … × [0, 100].

Например, вектор $\overline{X_1}$ – n-мерный вектор, все координаты которого равны 100, соответствует «идеальному обучающемуся», набравшему максимальное число баллов по всем дисциплинам.

Для визуальной и количественной оценки соответствия уровня знаний заданным минимальным требованиям можно предложить следующий подход.

В данном кубе можно выделить два подмножества – С_Т и С_N:

CT $\cup$ CN = С,

где С_Т = [50, 100] × [50, 100] × … × [50, 100] – n-мерный куб, в который попали концы векторов, все координаты которых удовлетворяют минимальным требованиям, предъявляемым к текущим и остаточным знаниям обучающегося; C_N = C / C_T – дополнение C_T до множества С. В множество C_N попадут концы векторов, у которых хотя бы одна координата не удовлетворяет минимальным требованиям, предъявляемым к текущим и остаточным знаниям обучающегося.

На первом году обучения в вузе мониторинг остаточных знаний представляет собой оценку начального уровня знаний студента при поступлении в вуз после окончания школы. Тестовые задания должны соответствовать школьной программе и содержанию единого государственного экзамена, но могут быть дополнены и другими вопросами. Начальный минимально допустимый уровень устанавливается на основе предположений о необходимом для успешного обучения объеме усвоенных знаний. Полученные в результате тестирования числовые данные визуализируются в векторном виде.

На рисунке 1 показана векторная интерпретация результатов тестирования студентов первого года обучения при выборе двух дисциплин тестирования. Здесь области С и C_T множества двухмерных точек возможных и допустимых результатов тестирования соответственно. Вектор (1) иллюстрирует уровень $\overline{X_1}$ с «идеальными характеристиками», вектор (2) визуализирует результаты, не удовлетворяющие минимальным требованиям.

 

Рисунок 1 – Двухмерный куб результатов проверки остаточных знаний

 

Если количество дисциплин для мониторинга знаний превосходит три (n > 3), то построить куб и векторы результатов проверки в n-мерном пространстве не представляется возможным. Однако существует прием, позволяющий работать с n-мерными векторами графически, используя развертку вектора на плоскость в виде лепестковой диаграммы. Рассмотрим этот прием на примере сравнительного анализа векторов текущей успеваемости и остаточных знаний, приобретенных на первом году обучения при условии, что количество дисциплин мониторинга равно пяти. Тестирование проводилось на втором и третьем году обучения.

 

Рисунок 2 – Сравнительный анализ векторов текущей успеваемости и остаточных знаний

 

На приведенной диаграмме внешняя ломаная линия изображает «идеальный уровень» знаний респондента и соответствует максимально возможному количеству баллов по каждой из дисциплин тестирования. Внутренняя линия соответствует уровню минимальных допустимых требований по каждой из дисциплин и является своего рода барьером, нижним пороговым значением. Другие замкнутые линии диаграммы иллюстрируют результаты контроля текущей успеваемости (промежуточного тестирования, экзамена, зачета) и остаточных знаний через год и через два года после изучения данных дисциплин. Из приведенного рисунка видно, что уровень остаточных знаний убывает с возрастанием времени и по некоторым учебным предметам может опуститься ниже допустимого уровня, как это случилось с дисциплиной X₁₅.

Описанный способ визуализации результатов мониторинга текущей успеваемости и остаточных знаний может быть применен не только индивидуально к каждому обучающемуся, но и к однородным группам обучающихся по одинаковым образовательным программам. Для этого формируется вектор ${\overline{X}}_{group}$, координаты которого равны средним арифметическим координат векторов мониторинга всех обучающихся.

${\overline{X}}_{group}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\overline{X}}_i$,

где m – количество обучающихся в группе, ${\overline{X}}_i$ – вектор мониторинга каждого обучающегося.

Представление результатов мониторинга в векторном виде позволит визуально определить проблемные позиции и на основании их анализа и более детального изучения организовать мероприятия по коррекции ситуации или внести изменения в организацию учебного процесса в перспективе.

Векторная интерпретация оценок может быть использована также, например, в психолого-педагогической работе по профессиональной ориентации учащихся. Один из аспектов этой работы – выявление научных и практических предпочтений учащихся в будущей профессии, доминирующей склонности к гуманитарным или естественным наукам и т.д. Для реализации этой задачи по результатам тестирования строятся векторные диаграммы. Приведем пример использования данного подхода при выборе учеником направления обучения. Если количество изучаемых дисциплин в учебном заведении равно n, то часть из них q составляют дисциплины социально-гуманитарной направленности и $n-q$ дисциплин имеют естественнонаучную направленность. Следовательно, n-мерный куб:

С = [0, 100] × [0, 100] × … × [0, 100]

можно представить в виде произведения кубов размерности q и $n-q$:

С = С_q × С_n-q.

Используя проекции векторов мониторинга текущей успеваемости и остаточных знаний на соответствующие пространства размерности q и $n-q$, можно получить векторы мониторинга социально-гуманитарной и естественнонаучной направленности, по результатам изучения которых можно сделать выводы о наклонностях обучающегося, а также об уровне преподавания дисциплин соответствующего цикла в данном учебном заведении.

Если векторы мониторинга текущей успеваемости и остаточных знаний были построены в разных масштабах или в различных балльных системах, то для сопоставимости результатов можно эти векторы пронормировать. Выполним нормирование векторов мониторинга $\stackrel{—0}{X}$ и $\stackrel{—}{X}$. Для этого разделим их координаты на длины векторов. В результате будут получены векторы тех же направлений единичной длины $\stackrel{—0}{X_N}$ и ${\stackrel{—}{X}}_N$, концы которых лежат на единичной сфере с центром в начале координат.

 

 

$\stackrel{—0}{X_N}=\frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^k}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{nk}}{x}_{ij}^2}$$\stackrel{—0}{X}$,${\stackrel{—}{X}}_N=\frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^k}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{nk}}{x}_{ij}^2}$$\stackrel{—}{X}$ .

Координаты векторов $\stackrel{—0}{X_N}$ и ${\stackrel{—}{X}}_N$ равны направляющим косинусам $\cos {\alpha }_i, i=1$ n направлений векторов $\stackrel{—0}{X}$ и $\stackrel{—}{X}$. Используя направляющие косинусы можно сопоставлять результаты проверки текущей успеваемости и остаточных знаний одного обучаемого. Чем больше вектор наклонен к одной из осей, тем больше соответствующий направляющий косинус и тем успешнее обучаемый в овладении соответствующей дисциплины.

Предложенный в настоящей работе векторный способ интерпретации результатов мониторинга знаний позволяет визуализировать данные, наглядно представить ситуацию, определить проблемные зоны. Описаны возможные области применения данного способа в квалиметрическом обеспечении мониторинга образования, профориентационной работе, индивидуальной учебной деятельности. Векторный подход открывает новые перспективы использования математических методов в управлении образованием.

About the authors

Sergey Ivanovich Makarov

Samara State University of Economics

Email: maksi@sseu.ru

doctor of pedagogical sciences, professor, head of Higher Mathematics and Economic-Mathematical Methods Department

Russian Federation, Samara

Svetlana Aleksandrovna Sevastyanova

Samara State University of Economics

Author for correspondence.
Email: s_sevastyanova@mail.ru

candidate of pedagogical sciences, associate professor of Higher Mathematics and Economic-Mathematical Methods Department

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files