Application of probability theory elements in solving electric power problems

Full Text

Цель исследования: рассмотреть часто применяемые на практике понятия теории вероятностей, их смысл, применяемые для решения задач методы и их выбор, а также показать связь математического аппарата теории вероятностей с реальными ситуациями.

Все разделы высшей математики тесно связаны с решением задач электроэнергетики, поэтому необходимы для подготовки будущих специалистов данной области. В филиале ФГБОУ ВО «СамГТУ» в г. Новокуйбышевске студенты направления «Электроэнергетика и электротехника» изучают все разделы высшей математики в течение четырех семестров, в том числе и математические задачи электроэнергетики.

Теория вероятностей как раздел математики сформировалась сравнительно недавно. Ее возникновение связано с попытками построения теории азартных игр, со временем стало развиваться ее применение на практике – в демографии, для создания теории ошибок наблюдения в разделах физики и других науках, в самых разных отраслях для работы со статистикой. По мере выделения теории вероятностей в самостоятельный раздел ее методы стали находить применение во многих науках.

В настоящее время методы теории вероятностей используются для прогнозирования и моделирования работы сложных систем, в том числе и электроэнергетических систем. Расчеты с использованием данных о надежности и аварийности отдельных элементов позволяют планировать меры защиты, повышения надежности, создания резервных мощностей. Развитие и внедрение современных технологий сбора и обработки данных позволяет иметь как никогда полную картину происходящего в системе и делать важные выводы на этой основе.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций [1, с. 15]. Возможность возникновения любых событий в жизни находится под влиянием многих случайных факторов и других событий.

Случайным событием называется событие, которое в данных конкретных условиях может или произойти, или не произойти [2, с. 8]. Случайной функцией называется величина, изменяющаяся при изменении аргумента случайным образом [2, с. 42].

Определить вероятность возможно двумя способами – классическим и статистическим. Классическое определение применимо, если возможные события образуют полную группу, т.е. в одном опыте обязательно произойдёт одно из возможных событий. Вероятность рассчитывается как отношение нужных событию исходов к всевозможному числу опытов [3, с. 12]. Поскольку зачастую подсчитать число событий и опытов невозможно, в электроэнергетике обычно используется статистическое определение вероятности. Данное определение основывается на статистических данных. Наблюдая какое-либо случайное событие, можно определить относительную частоту его возникновения. При большом количестве наблюдений относительная частота возникновения события приближается к значению статистической вероятности данного события [4, с. 321]. По этой причине для решения практических задач нельзя пользоваться статистическим методом, если не иметь необходимого объёма начальных данных.

Рассмотрим практическое применение теории вероятностей в электроэнергетике. Аварийные повреждения оборудования по своей природе являются случайными событиями. В крупных системах с множеством элементов повреждения нескольких устройств могут сочетаться, и появляется задача нахождения вероятности таких одновременных множественных аварий. Для определения надёжности всего оборудования иногда необходимо определять вероятности безаварийной работы [5].

Рассмотрим на примере решения задачи 1.

Задача 1. Потребитель (П) получает электроэнергию от двух источников питания – И₁ и И₂ (рис. 1). Каждая цепь может пропустить всю необходимую мощность.

 

Рисунок 1 – Схема электроснабжения потребителя

 

Параметры потоков отказов и преднамеренных отключений элементов системы электроснабжения, средние времена восстановления и длительность преднамеренных отключений приведены в табл. 1.

 

Таблица 1 – Параметры надежности элементов

Параметр	Элементы
	В₁₁	Л₁	В₁₂	В₂₁	Л₂	В₂₂
λ₀, 1/(км/г)	0,099	0,023	0,048	0,137	0,019	0,137
L, км	–	80	–	–	30	–
$\overline{t_{в}}$, ч.	10	30	10	15	30	15
λпр, 1/г	0,4	0,3	0,4	0,4	0,3	0,4
tпр, ч.	60	50	60	80	20	80

 

Определить параметр потока отказов системы электроснабжения, среднее время безотказной работы, среднюю вероятность отказа, среднее время восстановления, а также недоотпуск электроэнергии за год, считая, что средняя годовая мощность потребителя $\overline{P}$ = 30 МВт. При расчете принять, что преднамеренные отключения последовательно включенных элементов цепей совмещаются по времени. Надежность источников питания не учитывать.

Решение:

Параметры потоков отказов первой и второй цепей, каждая из которых состоит из трех последовательно соединенных элементов:

λ_I = λ_ол₁L₁ + λ_В₁₁ + λ_В₁₂ + λ_прВ₁₁ = 0,023 × 80 + 0,099 + 0,048 + 0,4 = 2,387 (1/г);

λ_II = λ_ол₂L₂ + λ_В₂₁ + λ_В₂₂ + λ_прВ₂₁ = 0,019 × 30 + 2 × 0,137 + 0,4 = 1,244 (1/г).

Параметр потока отказов системы определяется как для системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов, и с учетом того, что возможно лишь наложение аварии оставшейся части схемы на преднамеренное отключение j-го элемента по формуле:

λ_с = λ_Iq_II + λ_IIq_I + (λ_I − λ_прВII)q_прII + (λ_II − λ_прВ₂₁)q_прI

q_I = q_В₁₁ + q_л₁ + q_В₁₂ = λ_В₁₁ $\overline{t}$_вВ₁₁ + λ_л₁ $\overline{t}$_вл₁ + λ_В₁₂ $\overline{t}$_вВ₁₂ = (0,099 × 10 + 1,84 × 30 + 0,048 × 10) / 8760 = 6,47 × 10⁻³;

q_II = q_В₂₁ + q_л₂ + q_В₂₂ = (0,137 × 15 + 0,57 × 30 + 0,137 × 15) / 8760 = 2,43 × 10⁻³.

λ_с = 2,387 × 2,43 × 10⁻³ + 1,244 × 6,47 × 10⁻³ + (0,844 × 0,4 × 60 + 1,987 × 0,4 × 80) / 8760 = 23,41 × 10⁻³ (1/г)

$\overline{T_{с}}$ = 1/λ_с = 1/23,41 × 10⁻³ = 42,7 лет.

При α = 0,1:

T_ср = −ln(1 − α)($\overline{T}$_с) = 1,105 $\overline{T}$_с = 4,48 лет.

Средние времена аварийного восстановления цепей:

$\overline{t}$_в₁ = (q₁/(λ₁ − λ_прВ₁₁)) × 8760 = 28,5; $\overline{t}$_в₂ = (q₂/(λ₂ − λ_прВ₂₁)) × 8760 = 25,2.

Коэффициенты, учитывающие факторы уменьшения вероятности преднамеренного отключения элементов:

К_П₁ = 1 – e^{–tB₁₁/tB₁₁} = 1 − e⁶⁰^/²⁵˒² = 0,9075; К_П₂ = 1 – e^{–tB₂₁/tB₁} = 1 − e⁹⁰^/²⁸˒² = 0,939.

Средняя вероятность состояния отказа:

q_с = q₁q₁₁ + K_П₁λ_пр₁ × $\overline{t}$_пр₁ × q₁₁ + K_П₂λ_пр₁₁ × × $\overline{t}$_пр₁₁ × q₁ = 6,47 × 10⁻³ × 2,43 × 10⁻³ + + (0,9075 × 0,4 × 60 × 2,43 × 10⁻³ + + 0,939 × 0,4 × 80 × 6,47 × 10⁻³) / 8760 = = 15,7 × 10⁻⁶ + 28,23 × 10⁻⁶ = 43,93 × 10⁻⁶.

Среднее время восстановления системы:

t_с = q_с/λ_с = (43,93 × 10⁻⁶) / (23,41 × 10⁻³) × × 8760 = 16,43.

Математическое ожидание недоотпущенной потребителю энергии:

∆$\overline{Э}$ = $\overline{Э}$× q_с = $\overline{P}$Tq_с = 30 × 10³ × × 8760 × 43,93 × 10⁻⁶ = 11542 кВт∙ч.

Если в приведённом примере не учитывать преднамеренных отключений, то получим:

λ_{с =} 13,85 × 10⁻³ 1/год; q_с = 15,7 × 10⁻⁶.

Из сравнения данных расчета параметров надежности с учетом и без учета преднамеренных отключений следует, что преднамеренные отключения существенным образом влияют на параметры надежности схем электроснабжения.

По полученным показателям надежности можно оценить технико-экономические последствия от недоотпуска электроэнергии и перерывов электроснабжения. Задача решена.

При последовательном соединении нескольких устройств (электрических или в составе производственного блока) надежность всей цепи определяется по надежностям всех элементов, поскольку выход из строя одного элемента приведет к остановке всей цепи [6, с. 340]. При расчете надежности такой цепочки вероятность нормальной работы равна произведению таких вероятностей для отдельных элементов. Вероятности всегда меньше 1, поэтому при увеличении числа последовательных элементов в какой-либо системе общая надежность снижается. Например, цепь из 5 устройств с вероятностью нормальной работы за данный период времени для каждого 0,99 будет иметь общую вероятность 0,99⁵ = 0,9509, а из 30 – 0,7397. Таким образом, протяженная последовательная система из множества даже очень надежных устройств всегда будет иметь повышенный шанс того, что что-то пойдет не так. Оценивая риски аварий, можно предпринимать соразмерные меры защиты и предотвращения крупных аварий. Возможные действия – разделение цепей на секции (неполадки в одной части не приведут к повреждениям соседних), резервирование важных элементов, при возможности оптимизация техпроцесса и придание устойчивости к простоям (аварийная остановка процесса не должна приводить к полной потере задействованных материалов) [7].

Случайные события называют зависимыми, если вероятность возникновения одного изменится при возникновении другого. Для расчетов с такими событиями используется понятие условной вероятности, которая учитывает зависимость между событиями [8, с. 19]. Примеры зависимых событий – повреждения фаз в трехфазной сети с изолированной нейтралью [9; 10]. Если принять вероятность повреждения одной фазы 0,001, а условные вероятности повреждения второй фазы 0,2 и третьей 0,6 при условии повреждения одной и двух до этого, то вероятность повреждения одной фазы – 0,001, двух – 0,001 × 0,2 = 0,0002, трех – 0,001 × 0,2 × 0,5 = 0,0001, от общего числа аварий тогда можно считать, что около 77% из них – однофазные, 15% – двухфазные, 8% – трехфазные.

Для определения вероятности наступления события некоторого количества раз из данного числа испытаний используется формула Бернулли:

P(m;n) = C_mⁿ × p^m × q^n–m.

Зная вероятности интересующих событий p, q и число испытаний n, можно определить вероятность P наступления событий некоторое количество раз m.

Случайными величинами в энергетике являются потребление мощности, колебания напряжения и частоты, длительности нормальной работы и аварийного ремонта отдельных устройств и др. Встречаются как дискретные (число устройств в ремонте на данный момент), так и непрерывные (ошибки прогнозирования различных параметров режима сети) [11, с. 45].

Математическая модель процесса со случайными отклонениями представляет собой ряд значений (отдельные наблюдения), которые складываются из значений некоторой функции времени и значений случайных отклонений. При рассмотрении бесконечной в обе стороны последовательности значений из этой модели получается последовательность величин, называемая случайным процессом [12, с. 33]. Случайные процессы в энергетике в основном связаны с метеорологическими условиями (приточность рек для ГЭС, температура, ветер, облачность) и сериями однородных событий (множественные аварии или окончания ремонтов). Вероятностные методы определения характеристик случайных процессов в энергетика находятся в разработке, может использоваться метод Монте-Карло и теория массового обслуживания.

Рассматривая теорию массового обслуживания, простейшим случайным процессом является последовательность (поток) случайных однородных событий, например, вызовы абонентов телефонной станции. Простейшим называется поток случайных событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последствий и ординарностью. Стационарность – независимость вероятностных характеристик от времени, отсутствие последствий – независимость вероятности от предшествующих событий (протекание потока в непересекающихся интервалах времени независимо, например, характер включения бытовых приборов в городе или отказ непрерывно работающих предохранителей), ординарность – свойство, означающее, что за короткий интервал времени ничтожна вероятность возникновения множественных событий.

Потоки различаются по внутренней структуре. Регулярный поток – такой, в котором события имеют одинаковые промежутки времени между ними, такие потоки встречаются довольно редко. У стационарных потоков вероятность появления определенного числа событий на заданном промежутке времени зависит только от длины интервала. Плотность стационарного потока (среднее число событий за единицу времени) считается постоянной на небольших временных интервалах, но при рассмотрении длительных может сильно варьироваться [13].

В случаях аварийного снижения мощности в системе, в расчетах вероятностей пользуются статистическими величинами вероятности нормального и аварийного состояний агрегатов [14]. Учитывая эти вероятности, можно определить вероятность аварийного состояния любого количества агрегатов. Однако можно считать, что выходы оборудования в ремонт и из ремонта являются однородными потоками случайных событий. Если допустить, что эти потоки являются простейшими и известно исходное состояние устройства, то можно доказать, что вероятности состояний не неизменны, а зависят от длительности рассматриваемого интервала. Только при достаточно больших интервалах наблюдений истинные вероятности состояний устройства приближаются к среднестатистическим.

Метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло – численный метод, заключающийся в построении модели изучаемого процесса и наблюдения за ним вместо вычислений его вероятностных характеристик [15; 16]. Получил развитие вместе с появлением быстродействующих вычислительных машин: генераторы случайных чисел, основанные на квантово-механических процессах либо тепловых или электрических шумах.

Метод Монте-Карло может использоваться для расчета пути развития энергосистемы [17; 18]. Таким образом, с помощью данного метода можно смоделировать случайные значения максимального потребления мощности за сутки и значения располагаемой мощности в системе. Это позволит определить случайные значения избытка и дефицита мощности в заданные дни. Далее по одной модели рассчитывают случайные отклонения от заданных годовых пиков, значения суточных/среднемесячных/месячных пиков в рабочие дни, по другой модели – случайные чередования нормальных и аварийных состояний агрегатов с помощью генератора равномерно распределенных чисел и, суммируя мощности нормально работающих устройств, получают случайные значение располагаемой мощности. Многократным повторением расчетов получают нормально распределенное число дефицитов и избытков мощности, а также рассчитываются вероятности дефицитов в отдельные дни. При превышении вероятности дефицита относительно нормативного значения автоматически подключается резерв мощности [19; 20]. Такой метод позволяет быстро рассчитать некоторые экономические параметры плана развития системы за предстоящие несколько лет.

Таким образом, теория вероятностей широко используется для оценки рисков, моделирования и прогнозирования во многих отраслях науки и техники. Широкое распространение этого обусловлено зависимостью многих событий от случайных факторов, влияющих на результат. Когда дело доходит до оценки надежности или прогнозирования на основе имеющихся данных, то методы теории вероятностей позволяют с высокой точностью предсказать возможные исходы и принять необходимые меры.

About the authors

Natalia Alekseevna Ran

Branch of Samara State Technical University in Novokuibyshevsk

Email: natalirahn@mail.ru

candidate of pedagogical sciences, associate professor of Electric Power Engineering, Electrical Engineering and Technological Processes Automation Department

Russian Federation, Novokuibyshevsk, Samara Region

Andrey Vladimirovich Antipov

Branch of Samara State Technical University in Novokuibyshevsk

Email: ant-andrew@mail.ru

senior lecturer of Electric Power Engineering, Electrical Engineering and Technological Processes Automation Department

Russian Federation, Novokuibyshevsk, Samara Region

Elena Vladislavovna Gorodnicheva

Branch of Samara State Technical University in Novokuibyshevsk

Author for correspondence.
Email: yaelenkapavlenko@yandex.ru

senior lecturer of Electric Power Engineering, Electrical Engineering and Technological Processes Automation Department

Russian Federation, Novokuibyshevsk, Samara Region

References

Supplementary files