Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений

Full Text

Обоснование. Решение дифференциальных уравнений традиционными методами зачастую является достаточно трудоемким процессом. Для упрощения решения в ряде случаев, в том числе для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и с переменными коэффициентами особого вида, решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, решения дифференциальных уравнений в частных производных, возможно применение методов операционного исчисления. Основная идея этого метода — применение преобразования Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения, решение получившегося операторного уравнения и осуществление перехода от изображения решения к оригиналу.

Цель — на примере продемонстрировать применение метода операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений, решить задачу из курса математической физики: найти распределение температур в полуограниченном стержне, если на левом конце стержня происходит теплоизлучение в среду с нулевой температурой с коэффициентом теплообмена h = const. Начальная температура стержня u₀ = const.

Методы. Для решения задачи было составлено дифференциальное уравнение в частных производных, для удобства дальнейшего решения в нем была сделана линейная замена. Был осуществлен переход к операторному уравнению с использованием таких свойств преобразования Лапласа, как свойство линейности и свойство дифференцирования оригинала, а также с использованием теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. Полученное операторное уравнение приняло вид однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. После решения данного уравнения с использованием теоремы Эфроса и свойства запаздывания преобразования Лапласа был найден оригинал полученного решения, который и является решением исходного дифференциального уравнения в частных производных.

Результаты. Решена задача физического содержания с помощью метода операционного исчисления, примененного к уравнению в частных производных. Было составлено дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (1) с начальными условиями (2). В нем была сделана линейная замена (3), в результате чего уравнение приняло вид (4), а начальные условия — вид (5). Получено операторное уравнение (6) с начальными условиями (7). Было найдено решение операторного уравнения (8), затем, с использованием теоремы Эфроса, которая для данного уравнения имела вид (9), был найден оригинал данного решения (10), который и является решением поставленной задачи.

$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=a^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}$ (1)

$u(x,0)=u_0, \frac{\partial u(0,x)}{\partial x}=hu(0,t), \frac{\partial u(\infty ,t)}{\partial x}=u_0$ (2)

$\overline{u}(x,t)=u-u_0$ (3)

$\frac{\partial \overline{u}(x,t)}{\partial t}=a^2\frac{{\partial }^2\overline{u}(x,t)}{\partial x^2}$ (4)

$\overline{u}(x,0)=0, \frac{\partial \overline{u}(0,x)}{\partial x}=h\left(\overline{u}\right(0,t)+u_0), \frac{\partial \overline{u}(\infty ,t)}{\partial x}=0$ (5)

$pU=a^2\frac{d^{2}U}{d{x}^2}$ (6)

$\frac{dU(0,p)}{dx}=h\left(U\right(0,p)+\frac{u_0}{p}), \frac{dU(\infty ,p)}{dx}=0$ (7)

$U=\frac{h{u}_{0}a}{p(ha+\sqrt{p})}{e}^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x}$ (8)

$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi t}}}{\int }_0^{\infty }f\left(\tau \right)e^{-\frac{{\tau }^2}{4t}}d\tau =\frac{u_0}{\sqrt{\mathrm{\pi t}}}{\int }_0^{\infty }\eta (t-\frac{x}{a})-e^{-ah(t-\frac{x}{a})}\eta (t-\frac{x}{a})e^{-\frac{{\tau }^2}{4t}}d\tau$ (9)

$u(x,t)=u_{0}Erf\left(\frac{x}{2a\sqrt{t}}\right)+e^{hx+a^2{h}^{2}t}Erf(\frac{x}{2a\sqrt{t}}+ah\sqrt{t})$ (10)

Выводы. Решение рассмотренной задачи математической физики свелось к решению дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с использованием методов операционного исчисления, что показывает применимость данных методов к решению данного класса задач. Использование методов операционного исчисления возможно при решении дифференциальных уравнений различных классов.

About the authors

Author for correspondence.
Email: pyryarva.vera@sgspu.ru

студентка, группа ФМФИ-б21МФо, факультет математики, физики и информатики

References

Supplementary files