Исследование термоэлектроупругого состояния длинного пьезокерамического цилиндра при неосесимметричном нестационарном нагреве

Texto integral

Обоснование. В настоящее время существует значительное множество приборов, принцип действия которых основан на взаимном влиянии полей различной физической природы: температурных, электрических и механических (упругих) [1, 2]. Для описания работы этих приборов используются различные теории математической физики [3–5]. Для преодоления математических трудностей при интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений задачи термоэлектроупругости, как правило, рассматриваются в осесимметричной постановке [6–9].

Цель — найти замкнутое решение неосесимметричной задачи термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра.

Методы. Неосесимметричные уравнения статики, электростатики и теплового баланса, записанные в цилиндрической системе координат, имеют вид:

$\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_{rr}}{\partial r_{*}}+\frac{1}{r_{*}}\frac{\partial {\sigma }_{r\phi }}{\partial \phi }+\frac{{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }}{\partial r_{*}}=0;\\ \frac{\partial {\sigma }_{r\phi }}{\partial r_{*}}+\frac{1}{r_{*}}\frac{\partial {\sigma }_{\phi \phi }}{\partial \phi }+2\frac{{\sigma }_{r\phi }}{r_{*}}=0;\\ \frac{\partial D_r}{\partial r_{*}}+\frac{D_r}{r_{*}}+\frac{1}{r_{*}}\frac{\partial D_{\phi }}{\partial \phi }=0\\ T_0\frac{\partial S}{\partial t_{*}}=\Lambda \left(\Delta \frac{\partial \Theta }{\partial t_{*}}+\frac{1}{{r^2}_{*}}\frac{{\partial }^2{\Theta }^{*}}{\partial {\phi }^2}\right).\end{array}$

В исходную систему уравнений также входят начально-краевые условия (опущены), которыми учитывается отсутствие механических напряжений на цилиндрических поверхностях (нормальные напряжения вдоль радиуса и касательные — в плоскости радиуса и угла поворота), заземление внутренней поверхности и подключение к измерительному прибору внешней, а также граничные условия теплопроводности.

Алгоритм решения задачи сводится к нескольким последовательным преобразованиям исходной системы дифференциальных уравнений. На первом этапе используются синус- и косинус-преобразования Фурье, позволяющие реализовать метод неполного разделения переменных. Затем неоднородные граничные условия при помощи определенных разложений приводятся к однородному виду, после чего полученная новая несамосопряженная начально-краевая задача решается методом биортогонального конечного преобразования.

Формулы обращения, соответствующие каждому этапу преобразований, позволяют получить следующие окончательные выражения для радиальных и тангенциальных перемещений, а также для потенциала электрического поля и температуры:

$\begin{array}{l}U(r,\phi ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\Omega }_n\left[H_1\left(r,n,t\right)+\sum _{i=1}^{\infty }G\left({\lambda }_{in},n,t\right)N_1\left({\mu }_{in},n,r\right){||K_{in}||}^{-2}\right]\cos \left(n\phi \right)d\phi ;\\ V(r,\phi ,t)={\pi }^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }\left[H_2\left(r,n,t\right)+\sum _{i=1}^{\infty }G\left({\lambda }_{in},n,t\right)N_2\left({\mu }_{in},n,r\right){||K_{in}||}^{-2}\right]\sin \left(n\phi \right)d\phi ;\\ \Phi (r,\phi ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\Omega }_n\left[H_3\left(r,n,t\right)+\sum _{i=1}^{\infty }G\left({\lambda }_{in},n,t\right)N_3\left({\mu }_{in},n,r\right){||K_{in}||}^{-2}\right]\cos \left(n\phi \right)d\phi ;\\ \Theta (r,\phi ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\Omega }_n\left[H_4\left(r,n,t\right)+\sum _{i=1}^{\infty }G\left({\lambda }_{in},n,t\right)N_4\left({\mu }_{in},n,r\right){||K_{in}||}^{-2}\right]\sin \left(n\phi \right)d\phi .\end{array}$

Результаты. В качестве образцов рассмотрены длинные полые цилиндры с внешним радиусом b = 0,02 м и внутренним — a = 0,005 м из пьезокерамики PZT-4 и PZT-5A. К части внутренней поверхности цилиндра (центральный угол величиной 90°) приложена температурная «нагрузка». Начальная температура тела соответствует температуре окружающей среды и равна 20 °C, конечная температура равна 100 °C. Также задан коэффициент теплоотдачи между цилиндрической поверхностью и окружающей воздушной средой (естественная конвекция), принятый 5,6 Вт/(м² K).

В случае изменения температуры на части внутренней поверхности цилиндра, функция приращения температуры на внешней образующей изменяется от 5 до 38 °C. При этом увеличение участка прогрева приводит к росту приращения температуры, а в осесимметричном случае (прогрев всей внутренней поверхности цилиндра) — приращение температуры становится постоянным и составляет порядка 73 °C.

В цилиндре, изготовленном из пьезокерамики PZT-4, разность потенциалов на поверхностях существенно выше по сравнению с этим же параметром для материала PZT-5А, т. к. PZT-4 имеет меньшую диэлектрическую проницаемость.

Радиальная поляризация материала и образование электрического поля в процессе деформирования цилиндра приводит к увеличению его «жесткости» в данном направлении, поэтому на участке температурного «загружения» увеличение толщины стенки цилиндра незначительно. Обратная картина наблюдается для тангенциальных перемещений: наличие электрического поля приводит к их возрастанию.

Большее значение коэффициента линейного температурного расширения пьезокерамики PZT-4 по сравнению с PZT-5А приводит к образованию больших перемещений.

Выводы. Построено новое замкнутое решение связанной неосесимметричной задачи термоэлектроупругости для длинного полого цилиндра при удовлетворении на его поверхностях граничных условий теплопроводности 1-го и 3-го родов, которое позволяет определить все компоненты термоэлектроупругих полей в рассматриваемом теле, а также разность потенциалов между его электродированными поверхностями.

Sobre autores

Autor responsável pela correspondência
Email: get8ack@mail.ru

аспирант

Bibliografia

Arquivos suplementares