О некоторых свойствах многочленов Чебышёва

Full Text

Обоснование. Многочлены Чебышёва играют важную роль в различных областях математики и ее приложений. Они широко используются в численных методах, теории приближений, теории управления, физике, некоторых ветвях инженерии и других областях. Актуальность многочленов Чебышёва обусловлена их свойствами, которые делают их удобными и эффективными для решения различных задач, таких как аппроксимация функций, интерполяция, решение дифференциальных и интегральных уравнений, экстремальных задач.

Цель — изучить свойства многочленов Чебышёва и применить их для решения одной оптимизационной геометрической задачи.

Методы. Численный метод, метод анализа и описания.

Определение 1. Многочлен Чебышёва первого рода T_n(x), n ∈ N определяется на промежутке [–1;1] равенством: T_n(x) = cos(n · arсcos x).

Свойство 1. T_n(x) — это многочлен степени n со старшим коэффициентом, равным 2n^–1.

Свойство 2. Справедливо рекуррентное соотношение:

T_n+1(x) = 2xT_n(x) — T_n–1(x).

Свойство 3. Многочлены Чебышёва удовлетворяют дифференциальному уравнению:

(1 – x²) y'' – xy' + n²y = 0.

Свойство 4. Если |x| ≥ 1, то $T_n\left(x\right)=\frac{{{(x+\sqrt{x^2-1})}^n+x-\sqrt{x^2-1})}^n}{2}$.

Рассмотрим теперь важное экстремальное свойство многочленов Чебышёва первого рода, благодаря которому они широко используются в различных вычислительных процессах и, в частности, в интерполировании функций. Но для начала введем новый термин.

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция f(x). Отклонением от нуля || f ||_{C[a; b]} функции f(x) на отрезке [a; b] будем называть наибольшее значение | f(x) | на данном отрезке, т. е.

${||f||}_{C_{\left[a;b\right]}}:=\underset{x\in \left[a;b\right]}{max}\left|f\left(x\right)\right|$.

В 1854 году П.Л. Чебышёв поставил и решил следующую экстремальную задачу: среди всех многочленов степени n, имеющих единичный старший коэффициент, определить тот, для которого величина отклонения от нуля является наименьшей. П.Л. Чебышёв доказал, что решением этой задачи для [–1; 1] является нормированный многочлен Чебышева $\frac{T_n\left(x\right)}{2^{n-1}}$.

Теорема 1 (экстремальное свойство многочленов Чебышёва). Для всякого многочлена F_n(x) степени n с единичным старшим коэффициентом имеет место неравенство

${||F_n||}_{C_{\left[-1;1\right]}}\ge 2^{1-n}{||T_n||}_{C_{\left[-1;1\right]}}=2^{1-n}$.

Следствие 1. Пусть многочлен P_n(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ, где a $\in$ R, i = 0, n таков, что |P_n(x)| ≤ 1 при |x| ≤ 1. Тогда если |x| > 1, то $\left|P_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right|\le \left|T_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right|k=0,1...,n$ и $a_n\le 2^{n-1}$.

Следствие 2. При |x| ≥ 1, $n\in N$ и n ≥ 2 выполняется неравенство

$\left|T_{n-1}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right|\le \left|T_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right|, k=0,1,2...$

Следствие 3. При x, y ≥ 1 T_n(xy) ≤ T_n(x)· T_n(y).

Применяя теорему 1, а также некоторые свойства комплексных чисел, можно доказать следующий геометрический результат.

Теорема 2. Пусть A₁, ... , A_n – n точек на плоскости. На любом отрезке длины l можно найти точку M такую, что $M A_1·...·M A_n\ge 2{(l/4)}^n$.

Результаты. Изучены основные свойства многочленов Чебышёва первого рода. С помощью экстремального свойства многочленов Чебышёва доказано некоторое оптимизационное соотношение для точек на плоскости.

Выводы. Среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом, равным единице, на отрезке [–1; 1] наименее отклоняются от нуля нормированные многочлены Чебышёва, причем это единственные многочлены с таким минимальным отклонением, равным 2^1–n. Благодаря этому уникальному свойству данные многочлены активно применяются во многих областях математики, являются важнейшим средством теоретических и практических исследований.

About the authors

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Author for correspondence.
Email: katyazhugaleva2004@gmail.com

студентка, группа 4241, механико-математический факультет

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files